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javagraticule3d:least-squares-adjustment

Ausgleichung im Gauß-Markov-Modell

Die Ausgleichung der erhobenen Daten in JAG3D erfolgt nach der Methode der kleinsten Verbesserungsquadratsumme im Gauß-Markov-Modell (GMM). Dieses Modell liegt immer dann vor, wenn die Beobachtungen l als Funktion der unbekannten Parameter x dargestellt werden können. Das Gauß-Markov-Modell gilt als Standardmodell in der geodätischen Netzauswertung, da sich alle Beobachtungsgleichungen nach diesem Schema formulieren lassen. Die Zielfunktion im GMM lautet

Eq: \Omega = \mathbf{v^TPv} = Min

worin v die Verbesserungen und P die Gewichtsmatrix sind. Eine detaillierte Darstellungen des Gauß-Markov-Modell findet sich u.a. bei Jäger et al. (2005).

Stochastisches Modell

Im Allgemeinen werden unterschiedliche Beobachtungstypen wie bspw. Strecken und Richtungen gemeinsam in die Ausgleichung als Beobachtungen eingeführt. Diese Beobachtungstypen unterscheiden sich i.d.R. in ihren Genauigkeiten. So sind bei der klassischen Tachymetrie die Winkelmessungen gegenüber der Streckenmessung häufig genauer. Aber auch Beobachtungen gleichen Typs können unterschiedlich genau ausfallen, wenn diese bspw. mit unterschiedlichen Instrumenten oder Verfahren registriert wurden. Das stochastisches Modell hat somit u.a. das Ziel, eine Balance zwischen den unterschiedlichen Beobachtungsgenauigkeiten herzustellen und somit den Einfluss von genaueren Messungen auf das Ausgleichungsergebnis zu erhöhen. Als Maßzahl für die Güte einer Beobachtung wird deren a-priori Standardunsicherheit σ verwendet und in der sogenannten Kovarianzmatrix Cll zusammengefasst. Wird von unabhängigen Beobachtungen ausgegangen, so ist in dieser Matrix lediglich die Hauptdiagonale besetzt.

Eq: \mathbf{C_{ll}} = \begin{pmatrix}
\sigma_1^2	& 0	& \dots	 & 0      \\
0	& \sigma_i^2 	& \dots  & 0 	  \\
\vdots	& 0 	& \ddots & \vdots \\
0 	& \dots & 0	 & \sigma_n^2
\end{pmatrix}

Durch Invertieren der Kovarianzmatrix gelangt man zur o.g. Gewichtsmatrix P. Der vorgezogene Varianzfaktor σ02 ist ein beliebig wählbarer Faktor und kann dazu verwendet werden, den Rechenaufwand beim Invertieren zu vereinfachen. In JAG3D ist σ0 = 1 gesetzt.

Eq: \mathbf{C_{ll}} = \sigma_0^2 \mathbf{Q_{ll}} = \sigma_0^2 \mathbf{P^{-1}}

Die Matrix Q entspricht hierbei der Kofaktormatrix. Sie ist mit der Kovarianzmatrix C identisch, wenn σ0 = 1 gilt.

Funktionales Modell

Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. linearisierte Zusammenhang zwischen den Beobachtungen l und den zu schätzenden Unbekannten x abgebildet

Eq: \mathbf{l} + \mathbf{v} = \hat{l} = \mathbf{A\hat{x}}

worin A die Design- oder Jacobimatrix und l der (gekürzte) Beobachtungsvektor sind. Die Normalgleichung ergibt sich zu:

Eq: \mathbf{N\hat{x}} = \mathbf{A^TPA\hat{x}} = \mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}

Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix N erhält man den Lösungsvektor x der unbekannten Parameter und deren Kofaktormatrix.

Eq: \mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n} = \mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}n}

Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen

Eq: \mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}

und die Kofaktormatrix der Verbesserungen

Eq: \mathbf{Q_{vv} = \mathbf{Q_{ll} - Q_{\hat{l}\hat{l}}}

Die geschätzten Kovarianzmatrizen für die Unbekannten, die Beobachtungen und die Verbesserungen ergeben sich aus der Multiplikation der entsprechenden Kofaktormatrizen mit dem a-posteriori Varianzfaktor

Eq: \hat{\sigma}^2 = \frac{\mathbf{v^TPv}} {n-u+d} = \frac{\Omega} {\tr \mathbf{R}}

worin n der Anzahl der Beobachtungen, u der Anzahl der Unbekannten und d einen möglichen Datumsdefekt beschreiben. Die Matrix R wird als Redundanzmatrix bezeichnet.

Eq: \mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}

Auf der Hauptdiagonalen von R stehen die Redundanzanteile ri für jede Beobachtung. Der Redundanzanteil r einer Beobachtung zeigt an, wie gut die betreffende Beobachtung durch die übrigen Beobachtungen kontrolliert wird im Netz. Während ein Redundanzanteil von r=0 bedeutet, dass die Beobachtung nicht kontrolliert ist, repräsentiert r=1 eine vollständige Kontrolle. Die Summe aller ri bzw. die Spur der Matrix R liefert den Gesamtfreiheitsgrad der Ausgleichung.

javagraticule3d/least-squares-adjustment.txt · Zuletzt geändert: 23.03.2014 18:45 von Michael Loesler