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javagraticule3d:least-squares-adjustment:outliers

Prüfung auf Modellstörungen

Zum Aufdecken von Modellstörungen nutzt JAG3D zwei Teststrategien. Zum einen wird mit Tprio eine auf den a-priori Varianzfaktor bezogene Testgröße bestimmt und zum anderen mit Tpost eine a-posteriori varianzbezogene Testgröße zur Prüfung ermittelt. Beide Verfahren sind als allgemeine multiple Tests formuliert, deren kritische Werte nach der B-Methode für Fisher-verteilte Testgrößen aufeinander abgestimmt werden.

Eine allgemeine Prüfung des funktionalen und stochastischen Modells erfolgt über den Globaltest TG

Eq: T_{G} = \frac{\hat\sigma_0^2} {\sigma_0^2} \sim F_{f,\infty}

mit der zu prüfenden Nullhypothese

Eq: \hat\sigma_0^2  = \sigma_0^2 | H_0

und der Alternativhypothese

Eq: \hat\sigma_0^2  \neq \sigma_0^2 | H_A

Da es sich bei diesem Test nur um eine globale Prüfung des mathematischen Modells handelt, können im Falle einer Verwerfung nur allgemeine Gründe wie

  • Vorhandensein von Beobachtungsfehlern (Ausreißern),
  • Fehlerhaftes funktionales Modell oder
  • Stochastisches Modell zu optimistisch

genannt werden. Eine konkrete Lokalisierung von möglichen Ausreißern ist hingegen nicht möglich, sodass das Durchführen von Einzeltests unumgänglich ist und daher primär zur Analyse und Bewertung herangezogen werden sollte.

Die i-te a-priori bezogene Testgröße ergibt sich für den m-dimensionalen multiplen Test aus

Eq: T_{prio,i} = \frac{\mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {m\sigma_0^2} \sim F_{m,\infty}

und für den a-posteriori bezogenen Test aus

Eq: T_{post,i} = \frac{\mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {m\hat{\sigma'_i}^2} \sim F_{m,f-m}

Der geschätzte a-posteriori Varianzfaktor der Gesamtausgleichung ist aufgrund einer Modellstörung verzerrt. Aus diesem Grund wird die Verbesserungsquadratsumme Ω um den Einfluss der möglichen Modellstörung reduziert.

Eq: \hat{\sigma'_i}^2 = \frac{\Omega - \mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {f-m}

Die zur i-ten Beobachtung geschätzte Modellstörung ist hierbei i mit zugehöriger Kofaktormatrix Q∇∇,i.

Analog zum Globaltest lassen sich auch die geschätzten Varianzfaktoren der Beobachtungsgruppen, die aus der Varianzkomponentenschätzung resultieren, auf Modellkonformität prüfen. Anstelle des a-posteriori Varianzfaktors der Gesamtausgleichung wird hierbei auf den geschätzten Varianzfaktor der jeweiligen Gruppe zurückgegriffen.

Hinweis: In der geodätischen Literatur wird häufig für den a-priori Einzeltest die normierte Verbesserung (NV) und für den a-posteriori Einzeltest der t-Test beschrieben. Hierbei handelt es sich um Spezialfälle der in JAG3D implementierten Testverfahren für m=1. Eine Übertragung kann jedoch aus den Beziehungen der Fisher-Verteilung zur Normal- bzw. Student-t-Verteilung leicht abgeleitet werden für m=1:

Eq: NV = \sqrt{T_{prio}}

bzw.

Eq: t-Test = \sqrt{T_{post}}

Für m>1 gilt dies jedoch nicht!

Abstimmung von Einzel- und Globaltest mittels B-Methode

Das Konzept zur Abstimmung von Global- und Einzeltest geht auf die Postulate von Baarda (1968) zurück und hat das Ziel, dass die Verwerfung eines Einzeltests auch zur Verwerfung des Globaltestes führen soll.

Eq: \lambda(\alpha_1, 1-\beta_1, 1, k) = \lambda(\alpha_2, 1-\beta_2, 2, k) = ... = \lambda(\alpha_f, 1-\beta_f, f, k)

Die Abstimmung basiert auf einer einheitlichen Testgüte β1= β2= … = βf, weshalb diese Methode in der Literatur auch als B-Methode (bzw. β-Methode) bezeichnet wird. Werte für den Nichtzentralitätsparameter λ bei unterschiedlichen Freiheitsgraden f und Irrtumswahrscheinlichkeiten α können für k = ∞ u.a. Nomogrammen aus Baardas Arbeiten entnommen oder über Online-Rechner ermittelt werden.

Bei der Netzausgleichung in JAG3D erfolgt die Abstimmung aller kritischer Werte auf den eindimensionalen a-priori varianzbezogenen Test Kprio,m=1,k=∞ der Fisher- bzw. F-Verteilung. Durch Vorgabe einer Irrtumswahrscheinlichkeit α1 und einer Teststärke 1-β liegt der Nichtzentralitätsparameter λ fest, sodass αm auf alle übrigen m-dimensionalen a-priori bzw. a-posteriori bezogenen kritischen Werte geschlossen werden kann.

Eq: \alpha_m=\alpha(\alpha_1,1-\beta,1,\infty,m,k)

Die abgestimmten Testgrößen werden auf der Ergebnisseite des Dateneditors und im Standardreport ausgegeben. Die nachfolgende Tabelle weist den einzelnen Beobachtungstypen den entsprechenden m-dimensionalen Test zu.

m Typ
1 Terrestrische Beobachtungen, Höhenpunkte
2 2D-GNSS-Basislinien, Lagepunkte
3 3D-GNSS-Basislinien, Raumpunkte

Die Testgröße für den Globaltest mit dem Gesamtfreiheitsgrad f ergibt sich folglich für m=f. Analog zum globalen Test werden auch die einzelnen Varianzfaktoren der Beobachtungsgruppen, die aus der Varianzkomponentenschätzung resultieren, auf Modellverträglichkeit geprüft. Hierzu wird der Redundanzanteil der jeweiligen Gruppe (m=rG) genutzt.

javagraticule3d/least-squares-adjustment/outliers.txt · Zuletzt geändert: 30.01.2014 09:21 von Michael Loesler