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javagraticule3d:least-squares-adjustment:reliability

Zuverlässigkeitsmaße in der Netzausgleichung

Nach einer erfolgreichen Ausgleichung sind neben den Koordinaten und ggf. Zusatzunbekannten auch die Qualität der erzielten Ergebnisse bzgl. der inneren und äußeren Zuverlässigkeit zu bewerten. Hierzu zählen das Aufdecken von Modellstörungen, die gegenseitige Kontrolliertheit von Beobachtungen oder das Abschätzen des Einflusses einer unentdeckten Modellstörung auf die ausgeglichenen Parameter. Alle Analysemethoden setzen voraus, dass das Netz eine hinreichend große Überbestimmung besitzt und sich die einzelnen Beobachtungen ausreichend untereinander kontrollieren.

Genauigkeitsmaße der Parameter

Gegenüberstellung zweier Konfidenzellipsen mit unterschiedlicher Kovarianz
Abbildung 1: Gegenüberstellung zweier Konfidenzellipsen

Die Genauigkeitsmaße der geschätzten Parameter z.B. die Koordinaten der Netzpunkte werden nach der Ausgleichungsrechnung aus der Varianz-Kovarianz-Matrix Cxx der Parameter abgeleitet.

Eq: \mathbf{C_{\hat x \hat x}}=\hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}

Während auf der Hauptdiagonalen die Varianzen σ2 der Parameter angeordnet sind, befinden sich auf den Nebendiagonalen die Kovarianzen ρ, welche die (linearen) Abhängigkeiten zwischen den Parametern quantifiziert. Während für ρ > 0 eine positive Korrelation besteht, sind die Parameter für ρ < 0 negativ korreliert. Für ρ = 0 sind die Parameter vollständig (linear) unabhängig.

Die geschätzten Standardunsicherheiten σ der Parameter z.B. der ausgeglichenen Koordinaten eines Punktes können demnach direkt aus der Varianz-Kovarianz-Matrix Cxx abgelesen werden. Zu beachten ist, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix Cxx datumsabhängig ist. Dies bedeutet, dass bspw. die Standardunsicherheiten σ nicht invariant gegenüber Netzverdrehungen sind und sich daher nur bedingt zur Beurteilung eignen. Ein punktbezogenes rotationsinvariantes Genauigkeitsmaß sind hingegen die Halbachsen der Konfidenzbereiche.

Durch spektrale Zerlegung der punktbezogenen Sub-Kofaktormatrix Qxixi werden die Halbachsen und die Orientierung des n-dimensionalen Hyperellipsoids gewonnen. Während sich für n = 3 ein Ellipsoid ergibt, erhält man für n = 2 eine Ellipse und für n = 1 ein einfaches Intervall. Die Halbachsen bilden somit die Extremstellen des Konfidenzbereichs.

Eq: \mathbf{Q_{\hat x \hat x}}=
\mathbf{\begin{bmatrix}
Q_{\hat x_i \hat x_i}&Q_{\hat x_i \hat x_j}& \dots\\
Q_{\hat x_j \hat x_i}&Q_{\hat x_j \hat x_j}& \dots\\
\vdots	& \vdots & \ddots
\end{bmatrix}}

Abbildung 1 stellt für zwei Punkte die zugehörigen Konfidenzellipsen gegenüber. Während die Standardunsicherheiten σx = σy = 5 mm bei beiden Punkten identisch sind, lässt sich aus der Form der Ellipsen erkennen, dass der Konfidenzbereich der roten Ellipse kleiner ist als der der blauen. Beide Punkte weisen somit nicht dieselbe Unsicherheit auf. Die Koordinatenachsen-bezogenen Standardunsicherheiten sind demnach nur aussagekräftig, wenn diese mit den Halbachsen des Konfidenzbereichs (näherungsweise) zusammenfallen, siehe blaue Ellipse. Die Forderung nach homogenen und isotropen Konfidenzbereichen bedeutet, dass im 2D-Fall die Ellipse zu einem Kreis und im 3D-Fall das Ellipsoid zu einer Kugel entartet.

Im Folgenden soll explizit nur der räumliche Fall skizziert werden. Für n < 3 vereinfacht sich die Darstellung sinngemäß. Die i-te punktbezogene Sub-Kofaktormatrix Qxixi lautet

Eq: \hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat x_i \hat x_i}}=
\begin{pmatrix}
\sigma_x^2&\rho_{xy}&\rho_{xz}\\
\rho_{yx}&\sigma_y^2&\rho_{yz}\\
\rho_{zx}&\rho_{zy}&\sigma_z^2
\end{pmatrix}_{ii}

Die drei Halbachsen A, B und C ergeben sich aus den (sortierten) Eigenwerten λ = [λmax, λmid, λmin]T

Eq: A = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{max} }, Eq: B = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{mid} }, Eq: C = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{min} }

Die Orientierung lässt sich aus den drei korrespondierenden Eigenvektoren m ableiten.

Eq: \mathbf{M}=\left [\begin{matrix} \mathbf{m}_{max}&\mathbf{m}_{mid}&\mathbf{m}_{min} \end{matrix} \right ]

worin die Modalmatrix M eine orthogonale Matrix mit det(M) = +1 ist, die sich in drei Einzelrotationen mit den Eulerwinkeln α, β und γ zerlegen lässt.

Eq: \mathbf{M}=\mathbf{R_x}(\alpha)\mathbf{R_y}(\beta)\mathbf{R_z}(\gamma)

Die folgende Tabelle zeigt die maximale Sicherheitswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Dimension n für die so gebildeten einfachen Konfidenzbereiche.

n Wahrscheinlichkeit
1 68,27 %
2 39,35 %
3 19,87 %

Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von 40 % bzw. 20 % für einen Lage- bzw. Raumpunkt, werden die Halbachsen i.d.R. mit einem Quantil der χ2n-Verteilung skaliert, sodass sich ein vergrößerter Konfidenzbereich mit einer entsprechend höheren Sicherheitswahrscheinlichkeit ergibt. In JAG3D wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit aus der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit abgeleitet.

Redundanzanteil

Ein Maß für die Kontrolliertheit liefert die Redundanzmatrix R

Eq: \mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}

worin P die Gewichtsmatrix des stochastischen Modells und Qvv die Kofaktormatrix der Beobachtungsresiduen sind. Auf der Hauptdiagonale von R stehen die sogenannten Redundanzanteile ri für jede Beobachtung. Der Redundanzanteil r einer Beobachtung ist ein normiertes Maß und zeigt an, wie gut die betreffende Beobachtung durch die übrigen Beobachtungen kontrolliert wird im Netz. Während ein Redundanzanteil von r=0 bedeutet, dass die Beobachtung nicht kontrolliert ist, repräsentiert r=1 eine vollständige Kontrolle. Gelegentlich wird ri in Prozent angeben und durch den Parameter EVi[%] = 100·ri ausgedrückt. Als Faustregel für den Redundanzanteile ri gilt:

  • 0.0 ≤ ri < 0.1 → schlecht kontrolliert,
  • 0.1 ≤ ri < 0.3 → ausreichend kontrolliert,
  • 0.3 ≤ ri < 0.7 → gut kontrolliert,
  • 0.7 ≤ ri ≤ 1.0 → sehr gut kontrolliert.

Die Summe aller ri bzw. die Spur der Matrix R liefert den Gesamtfreiheitsgrad f = tr(R) der Ausgleichung. Eine hohes Maß an Kontrolle wird erreicht, wenn die Anzahl an Beobachtungen n erhöht wird. Dieser Forderung stehen jedoch vor allem wirtschaftliche Aspekte gegenüber. Mithilfe des Redundanzanteils ri lässt sich durch 1 - ri der Grad der Überschüssigkeit angeben. Hierdurch lässt sich bemessen, welchen Anteil die Beobachtung am Ausgleichungsergebnis mit einbringt.

Modellstörung

Unter einer Modellstörung verstehen wir grundsätzlich einen Fehler im funktionalen Modell oder/und stochastischen Modell der Ausgleichung. Eine angezeigte Diskrepanz kann demnach durch das Fehlen eines Zusatzparameters wie bspw. einen Maßstab bei einer Streckengruppe hervorgerufen werden. Gleichzeitig kann aber auch eine zu optimistisch gewählte a-priori Unsicherheit für das Anschlagen des statistischen Test verantwortlich sein. Eine Trennung zwischen beiden Ursachen ist daher nur bedingt möglich.

Die Größe einer möglichen Modellstörung wird formal durch das Erweitern des Parametervektors x und einer Modifikation im funktionalen Modell durch die Designmatrix B ermittelt. In dem erweiterten Ausgleichungsmodell werden demnach j Zusatzparameter mitgeschätzt.

Eq: \mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{A}\mathbf{\hat{x}} + \mathbf{B}\mathbf{\nabla}

Das Schätzen der Zusatzparameter und der zugehörigen Kofaktormatix Q∇∇ erfordert keine Neuausgleichung und kann direkt aus den Resultaten des nicht-erweiterten Modells abgeleitet werden. Der Lösungsvektor ergibt sich aus

Eq: \nabla = -\mathbf{Q_{\nabla\nabla}}\mathbf{B}^T\mathbf{Pv}

worin P die Gewichtsmatrix des stochastischen Modells, v die Residuen der Beobachtungen und Q∇∇ die zu korrespondierende Kofaktormatix darstellt.

Eq: \mathbf{Q_{\nabla\nabla}} = (\mathbf{B}^T\mathbf{PQ_{vv}PB})^{-1} = (\mathbf{B}^T\mathbf{PRB})^{-1}

Da eine rechen- und zeitintensive Neuausgleichung entfallen kann, lassen sich mit vertretbarem Aufwand verschiedene Störmodelle analysieren und die geschätzten Modellstörungen i in Relation zur Genauigkeit statistisch bewerten. JAG3D führt für jede Beobachtung ein spezifisches Störmodell ein. Eine signifikante Modellstörung liegt vor, wenn die Nullhypothese E{∇i}=0|H0 verworfen werden muss.

Offensichtlich können nur Beobachtungen geprüft werden, deren Redundanzanteil ri > 0 ist, da zur Bestimmung von i bzw. Q∇∇,i die Redundanzmatrix R notwendig ist. Beobachtungsbezogene Störmodelle können demnach nur berechnet werden, wenn die Beobachtung durch die übrigen Beobachtungen im Netz kontrolliert wird.

Einfluss auf die Punktlage

Um Abzuschätzen, welchen Einfluss eine geschätzte Modellstörung i auf die berührenden Punkte der korrespondierenden Beobachtung ausübt, ist der Einfluss auf die relative Punktlage EPi zur analysieren.

Eq: \mathbf{EP}_i=\mathbf{A}_{\mathbf{x},i}\nabla\mathbf{x}_i

worin Ax,i den koordinatenbezogenen Anteil der Designmatrix A des funktionalen Modells, ∇xi die Auswirkung einer Modellstörung i auf die geschätzten Koordinaten beschreiben

Eq: \nabla\mathbf{x}_i={\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}{\mathbf{\bar{A_{x}}}}^T{\mathbf{PB}}_i {\mathbf{\nabla}}_i

und

Eq: \mathbf{\bar{A_{x}}}=\mathbf{A_x} - \mathbf{A_z}(\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_z})^{-1}\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_x}

die um den Anteil der Zusatzunbekannten Az reduzierte Designmatrix A sind. Enthält das funktionale Modell für die betreffende Beobachtung keine Zusatzparameter, so ergibt sich EPi direkt aus

Eq: \mathbf{EP}_i = (\mathbf{E} - \mathbf{R}_i)\mathbf{B}_i\nabla_i

wodurch noch einmal die Wichtigkeit eines redundanten Netzes unterstrichen wird. Die Auswirkungen einer geschätzten Modellstörung auf die relative Punktlage hängt somit direkt vom Grad der Überschüssigkeit 1 - ri ab. Bei einem Redundanzanteil von ri = 0.9 würden demnach nur 10 % der geschätzten Modellstörung i einen Einfluss auf die relative Punktlage der berührenden Punkte ausüben.

Der Einfluss auf die relative Punktlage EP sollte somit auch bei der Entscheidung, ob eine Beobachtung im Datenbestand verbleibt, berücksichtigt werden. Grenzwerte werden u.a. bei hoheitlichen Aufgaben von den Landesvermessungsbehörden festgesetzt. Für Liegenschaftsvermessungen in Baden-Württemberg1) ist ein Grenzwert von 3 cm vorgesehen. Für Richtungsbeobachtungen oder Zenitwinkel ist EP daher noch in eine Querabweichung umzurechnen.

Einflussbemessung der Netzverzerrung

Die ungünstigste Auswirkung einer nicht-erkannten Modellstörung auf die ausgeglichenen Koordinaten kann durch die skalare Größe EF beschrieben werden. Diese Maßzahl wird häufig als Netzverzerrung oder auch Einflussfaktor (EF) bezeichnet.

Eq: EF^2=\frac{1}{\sigma^2_0}\nabla\mathbf{x}^T\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}^{-1}}\nabla\mathbf{x}

Die maximale Verfälschung ergibt sich aus

Eq: EF \cdot SP = EF \cdot \sigma_{P,max}

worin σP,max die maximale mittlere Unsicherheit der k Koordinaten im Netz ist und sich aus

Eq: \sigma^2_{P,\max} = \max(\tr \mathbf{Q}_{\mathbf{\hat x \hat x}_i}, i=1, 2 ,..., k)

ergibt. Jäger et al. (2005) führen an, dass diese Einflussbemessung grundsätzlich überschätzt wird. Dennoch findet sich diese Kenngröße in den Verwaltungsvorschriften der Länder und ist bei der Netzbeurteilung mit zu berücksichtigen. In Baden-Württemberg2) ist ein Grenzwert von 15 cm für Liegenschaftsvermessungen noch zulässig.

javagraticule3d/least-squares-adjustment/reliability.txt · Zuletzt geändert: 23.04.2017 21:02 von Michael Loesler